Примеры задач с пирамидами и решение координатным методом (ЕГЭ C2)

См. так же: Теория по координатному методу в пирамидах

Докажем, что в задачах ЕГЭ типа C2 с пирамидами можно применять координатный метод. Для этого рассмотрим разные типы задач:


Задача 1. Нахождение угла между прямыми в пирамиде
Задача 2. Нахождение угла между плоскостью и плоскостью в пирамиде
Задача 3. Нахождение угла между прямой и плоскостью в пирамиде
Задача 4. Нахождение расстояния от точки до плоскости в пирамиде
Задача 5. Нахождение расстояния между двумя прямыми в пирамиде
Задача 6. Нахождение расстояния от точки до прямой в пирамиде
(Пока что готовы только задачи 2 и 4. Остальные добавлю позже)

Задача 2

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
Решаем координатным методом.
Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно найти синус угла между прямой и нормалью к плоскости. Нормалью к плоскостиABC является прямая OS (она перпендикулярна плоскости), где O —проекция точки S на площадь ABC.
Найдём координаты точек. Рассмотрим правильный треугольникABC:

Тогда координаты точек и координаты векторов


Найдём искомый угол:

Для сравнения, решим эту задачу «традиционным» способом:

Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле. Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка M₁— лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол MNM1 — искомый.

MM1||SOгде O — центр основания, значит, MM1 — средняя линия треугольника ASO потому M1 — AO. 
Тогда  и  Из прямоугольного треугольника AMM1 находим:

Из прямоугольного треугольника MM1N находим:

Сравним этот ответ с тем, который мы получили, при решении задачи координатным методом:

Вывод: ответ задачи не зависит от способа решения. Такие задачи можно решать как координатным, так и «традиционным» способом.

Задача 4

В правильной шестиугольной призме SABCDEF, стороны основания которой равны 1, боковые рёбра равны 2, найти расстояние от точки A до плоскости SBC.

Решение:

Ответ: